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01 物理建模与实验建模

在本次实验中将对一个一阶系统进行物理建模以及实验建模,最后对比两者的结果。

实验中使用的一阶系统为 旋转伺服基本单元输出轴的旋转角速度-直流电机输入电压 系统,其关系可以近似描述为以下传递函数:

Ωl(s)Vm(s)=Kτs+1

物理建模

图 0

电机反电动势电压 eb(t) 的大小取决于电动机轴的速度 ωm 和电动机的反电动势常数 km 。 其方向与电流相反, 大小由下式 1.2 给出:

eb(t)=Kmωm(t)

利用基尔霍夫电压定律,可得到如下方程:

Vm(t)RmIm(t)LmdIm(t)dtkmωm(t)=0

由于电枢电感 Lm 数值远小于其电阻, 可忽略。式 1.3 可简化为:

Vm(t)RmIm(t)kmωm(t)=0

求解 Im(t), 可得:

Im(t)=Vm(t)kmωm(t)Rm

在本小节中,我们将建立描述负载轴速度 ωl 相对于所施加的电动机转矩 τm 的动力学方程。 由于旋转伺服基本单元是一个单自由度的旋转系统,牛顿第二运动定律如下式 1.6 所示:

 J. α=τ

其中 J 为物体的转动惯量(绕其质心), α 为系统的角加速度, τ 为施加扭矩之和。如图1.1所示,如考虑旋转伺服基本单元折算在电机轴及负载轴上的粘性摩擦系数 BmBl ,负载的动力学方程为:

Jldωl(t)dt+Blωl(t)=τl(t)

其中 Jl 是负载的转动惯量, τl 是施加在负载轴上的总扭矩,负载的转动惯量包含齿轮系和任何外部负载,如惯性盘负载或杆负载。

电机轴上的动力学方程可写为:

Jmdωm(t)dt+Bmωm(t)+τml(t)=τm(t)

其中 Jm 是电机轴的转动惯量, τml 是折算到电机轴上的负载扭矩; 负载轴转矩和其折算到电机轴上的负载转矩的关系式如下:

τl(t)=ηgKgτml(t)

其中 Kg 为齿轮速比, ηg 为传动效率。 直接安装在旋转伺服基本单元直流电机上的行星齿轮减速器(详见旋转伺服基本单元用户手册)的齿轮安装于减速器内部,在图 1.1 中用 N1N2 两个齿轮来表示,传动比可写为:

Kgi=N2N1

安装于行星减速器轴上的齿轮 N3 和负载轴上的齿轮 N4 直接啮合,在外部可见,根据 N3N4的不同,SRVO2 旋转伺服基本单元可分为 "高减速比"、"低减速比"两个版本,其传动比为:

Kge=N4N3

旋转伺服基本单元齿轮系总减速比可写为:

Kg=KgeKgi

于是,负载转矩通过齿轮减速机构后这算到电机轴上的转矩为:

τml=τl(t)ηgKg

显然负载轴旋转一圈,电机轴需要旋转 Kg

θm(t)=Kgθl(t)

通过对时间求导, 可获得电机轴的角速度 ωm 与负载轴的角速度 ωl 的关系:

ωm(t)=Kgωl(t)

最终可以得到下式:

以得到下式:

JmKgdωl(t)dt+BmKgωl(t)+Jl(dωl(t)dt)+Blωl(t)ηgKg=τm(t)

整理得:

(ηgKg2Jm+Jl)dωl(t)dt+(ηgKg2Bm+Bl)ωl(t)=ηgKgτm(t)

定义如下变量:

Jeq=ηgKg2Jm+JlBeq=ηgKg2Bm+Bl

则有:

Jeqdωl(t)dt+Beqωl(t)=ηgKgτm(t)

电机转矩与输入电压关系如下:

τm(t)=ηmktIm(t)

其中 kt 为直流电机转矩常数 (单位: N.m/A), ηm 为电机效率, Im 为电枢电流。详见《旋转伺服基本单元用户手册》中有关电机规格的相关说明。

电压 Vm(t) 和负载轴速度 ωl(t) 的关系式。

τm(t)=ηmkt(Vm(t)kmωm(t))Rm
τm(t)=ηmkt(Vm(t)kmKgωl(t))Rm

如果将式 1.23 代入式 1.20, 可得:

Jeqdωl(t)dt+Beqωl(t)=ηgKgηmkt(Vm(t)kmωm(t))Rm

整理可得:

Jeq(dωl(t)dt)+(Beq+KmηgKg2ηmktRm)ωl(t)=ηgKgηmktVm(t)Rm

可写为:

Jeq(dωl(t)dt)+Beq,vωl(t)=AmVm(t)

其中等效阻尼

Beq,v=BeqRm+KmηgKg2ηmktRm

执行机构增益

Am=ηgKgηmktRm

阶跃响应实验建模

对比