拉普拉斯变换
拉普拉斯变换(Laplace Transform)以及傅里叶变换(Fourier)作为两种积分变换方法，对于线性齐次微分方程可以给出快捷的求解。其本质在于这两种积分变换的逆变换任然是以积分的形式，这将使得可以将源微分方程通过正积分变换到频域，求解在频域中的多项式方程，最后通过逆积分变换得到源微分方程的解。
Laplace Transform
\[
F(s) \equiv \mathcal{L}\{f(t)\}=\int_{0}^{\infty} f(t) e^{-st} dt
\]
\[
f(t) \equiv \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}=\frac{1}{2\pi j}\int_{\sigma-j\infty}^{\sigma+j\infty} F(s) e^{st} ds
\]
一些具体的变换
- 狄拉克函数
\[
x(t)=\delta(t) \quad \Rightarrow \quad X(s)=1
\]
- 幂函数
\[
x(t)=t^n \cdot 1(t) \quad \Rightarrow \quad X(s)=\frac{n!}{s^{n+1}}
\]
- 指数函数
\[
x(t)=\mathrm{e}^{-a t} \quad \Rightarrow \quad X(s)=\frac{1}{s+a}
\]
- 三角函数
三角函数实际上可以直接取自 a 纯虚数的指数函数的实部与虚部
\[
\overline{x}(t) = \cos \omega t + \mathrm{i} \sin \omega t = \mathrm{e}^{\omega \mathrm{i} t} \quad \Rightarrow \quad \overline{X}(s)=\frac{1}{s-\omega \mathrm{i}}
\]
对上述变换分别取实部和虚部有
\[
x(t)=\cos \omega t \quad \Rightarrow \quad X(s)=\Re\{ \frac{1}{s+\omega \mathrm{i}} \} = \frac{s}{s^2+\omega^2}
\]
\[
x(t)=\sin \omega t \quad \Rightarrow \quad X(s)=\Im\{ \frac{1}{s+\omega \mathrm{i}} \} = \frac{\omega}{s^2+\omega^2}
\]
- 抽象函数
-
- Linearity \(\mathcal{L}[a x(t)+b y(t)]=a X(s)+b Y(s)\)
-
- Differentiation \(\mathcal{L}\left[\frac{d}{d t} x(t)\right]=s \cdot X(s)-x(0)\)
-
- Integration \(\mathcal{L}\left[C+\int_0^t x(t) d t\right]=\frac{1}{s} \cdot X(s)+\frac{1}{s} \cdot C\)
-
- Delay \(\mathcal{L}[x(t-a)]=e^{-a s} \cdot X(s)\)
-
- Decay \(\mathcal{L}\left[e^{-a t} x(t)\right]=X(s+a)\)
-
- Convolution Theorem \(\mathcal{L}[x(t) * y(t)]=X(s) \cdot Y(s)\)
-
- Initial Value Theorem \(x\left(0^{+}\right)=\lim _{t \rightarrow 0} x(t)=\lim _{s \rightarrow \infty} s X(s)\)
-
- Final Value Theorem \(x(\infty)=\lim _{t \rightarrow \infty} x(t)=\lim _{s \rightarrow 0} s X(s)\)
- Laplace Transform Table
| \(\qquad\qquad\qquad \mathbf{x}(\mathbf{t}) \qquad\qquad\qquad\) | \(\qquad\qquad\qquad \mathbf{X}(\mathbf{s}) \qquad\qquad\qquad\) |
|---|---|
| \(\delta(t)\) | 1 |
| \(1(t)\) | \(\dfrac{1}{s}\) |
| \(t \cdot 1(t)\) | \(\dfrac{1}{s^2}\) |
| \(x(t)=t^n \cdot 1(t)\) | \(L[x(t)]=\dfrac{n!}{s^{n+1}}\) |
| \(e^{-a t}\) | \(\dfrac{1}{s+a}\) |
| \(\sin \omega t\) | \(\dfrac{\omega}{s^2+\omega^2}\) |
| \(\cos \omega t\) | \(\dfrac{s}{s^2+\omega^2}\) |
| \(e^{-a t} \sin \omega t\) | \(\dfrac{\omega}{(s+a)^2+\omega^2}\) |
| \(e^{-a t} \cos \omega t\) | \(\dfrac{s+a}{(s+a)^2+\omega^2}\) |
| \(\cdots\) | \(\cdots\) |