拉普拉斯变换

拉普拉斯变换(Laplace Transform)以及傅里叶变换(Fourier)作为两种积分变换方法，对于线性齐次微分方程可以给出快捷的求解。其本质在于这两种积分变换的逆变换任然是以积分的形式，这将使得可以将源微分方程通过正积分变换到频域，求解在频域中的多项式方程，最后通过逆积分变换得到源微分方程的解。

Laplace Transform

$$F(s)\equiv \mathcal{L}\{f(t)\}={\int }_0^{\mathrm{\infty }}f(t)e^{-st}dt$$

$$f(t)\equiv {\mathcal{L}}^{-1}\{F(s)\}=\frac{1}{2\pi j}{\int }_{\sigma -j\mathrm{\infty }}^{\sigma +j\mathrm{\infty }}F(s)e^{st}ds$$

一些具体的变换

• 狄拉克函数

$$x(t)=\delta (t)\Rightarrow X(s)=1$$

• 幂函数

$$x(t)=t^n\cdot 1(t)\Rightarrow X(s)=\frac{n!}{s^{n+1}}$$

• 指数函数

$$x(t)={\mathrm{e}}^{-at}\Rightarrow X(s)=\frac{1}{s+a}$$

• 三角函数

三角函数实际上可以直接取自 a 纯虚数的指数函数的实部与虚部

$$\bar{x}(t)=\cos \omega t+\mathrm{i}\sin \omega t={\mathrm{e}}^{\omega \mathrm{i}t}\Rightarrow \bar{X}(s)=\frac{1}{s-\omega \mathrm{i}}$$

对上述变换分别取实部和虚部有

$$x(t)=\cos \omega t\Rightarrow X(s)=\mathrm{\Re }\{\frac{1}{s+\omega \mathrm{i}}\}=\frac{s}{s^2+{\omega }^2}$$

$$x(t)=\sin \omega t\Rightarrow X(s)=\mathrm{\Im }\{\frac{1}{s+\omega \mathrm{i}}\}=\frac{\omega }{s^2+{\omega }^2}$$

• 抽象函数

• Linearity $\mathcal{L}[ax(t)+by(t)]=aX(s)+bY(s)$

• Differentiation $\mathcal{L}[\frac{d}{dt}x(t)]=s\cdot X(s)-x(0)$

• Integration $\mathcal{L}[C+{\int }_0^{t}x(t)dt]=\frac{1}{s}\cdot X(s)+\frac{1}{s}\cdot C$

• Delay $\mathcal{L}[x(t-a)]=e^{-as}\cdot X(s)$

• Decay $\mathcal{L}[e^{-at}x(t)]=X(s+a)$

• Convolution Theorem $\mathcal{L}[x(t)\ast y(t)]=X(s)\cdot Y(s)$

• Initial Value Theorem $x\left(0^{+}\right)=\underset{t\to 0}{lim}x(t)=\underset{s\to \mathrm{\infty }}{lim}sX(s)$

• Final Value Theorem $x(\mathrm{\infty })=\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}x(t)=\underset{s\to 0}{lim}sX(s)$

• Laplace Transform Table

$\mathbf{x}(\mathbf{t})$	$\mathbf{X}(\mathbf{s})$
$\delta (t)$	1
$1(t)$	${\displaystyle \frac{1}{s}}$
$t\cdot 1(t)$	${\displaystyle \frac{1}{s^2}}$
$x(t)=t^n\cdot 1(t)$	$L[x(t)]={\displaystyle \frac{n!}{s^{n+1}}}$
$e^{-at}$	${\displaystyle \frac{1}{s+a}}$
$\sin \omega t$	${\displaystyle \frac{\omega }{s^2+{\omega }^2}}$
$\cos \omega t$	${\displaystyle \frac{s}{s^2+{\omega }^2}}$
$e^{-at}\sin \omega t$	${\displaystyle \frac{\omega }{(s+a{)}^2+{\omega }^2}}$
$e^{-at}\cos \omega t$	${\displaystyle \frac{s+a}{(s+a{)}^2+{\omega }^2}}$
$\cdots$	$\cdots$