状态空间

使用状态空间表示是先进控制理论的第一关。

状态是指在系统中可决定系统状态、最小数目变量的有序集合。而所谓状态空间则是指该系统全部可能状态的集合。简单来说，状态空间可以视为一个以状态变数为坐标轴的空间，因此系统的状态可以表示为此空间中的一个向量。

状态空间表示法即为一种将物理系统表示为一组输入、输出及状态的数学模式，而输入、输出及状态之间的关系可用许多一阶微分方程来描述。

一般来说最普遍的状态空间表达式为：

\[ \begin{aligned} \dot{X} &= \mathcal{A}(X,U) \\ Y &= \mathcal{B}(X,U) \end{aligned} \]

第一个式子表示状态方程，第二个式子表示输出方程。当系统为线性时不变系统时，状态方程和输出方程可以表示为：

\[ \begin{aligned} \dot{X} &= AX + BU \\ Y &= CX + DU \end{aligned} \]

当然也可以形式地组合为一个大矩阵方程

\[ \begin{bmatrix} \dot{X} \\ Y \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} X \\ U \\ \end{bmatrix} \]