01 物理建模与实验建模
在本次实验中将对一个一阶系统进行物理建模以及实验建模，最后对比两者的结果。
实验中使用的一阶系统为 旋转伺服基本单元输出轴的旋转角速度-直流电机输入电压 系统，其关系可以近似描述为以下传递函数：
\[
\frac{\Omega_l(s)}{V_m(s)}=\frac{K}{\tau s+1}
\]
物理建模
电机反电动势电压 \(e_b(t)\) 的大小取决于电动机轴的速度 \(\omega_{\mathrm{m}}\) 和电动机的反电动势常数 \(\mathrm{k}_{\mathrm{m}}\) 。 其方向与电流相反, 大小由下式 1.2 给出:
\[
e_b(t)=K_m \omega_m(t)
\]
利用基尔霍夫电压定律，可得到如下方程：
\[
V_m(t)-R_m I_m(t)-L_m \frac{d I_m(t)}{d t}-k_m \omega_m(t)=0
\]
由于电枢电感 Lm 数值远小于其电阻, 可忽略。式 1.3 可简化为:
\[
V_m(t)-R_m I_m(t)-k_m \omega_m(t)=0
\]
求解 \(I_m(t)\), 可得:
\[
I_m(t)=\frac{V_m(t)-k_m \omega_m(t)}{R_m}
\]
在本小节中，我们将建立描述负载轴速度 \(\omega_l\) 相对于所施加的电动机转矩 \(\tau_m\) 的动力学方程。
由于旋转伺服基本单元是一个单自由度的旋转系统，牛顿第二运动定律如下式 1.6 所示：
\[
\text { J. } \alpha=\tau
\]
其中 \(J\) 为物体的转动惯量（绕其质心）， \(\alpha\) 为系统的角加速度， \(\tau\) 为施加扭矩之和。如图1.1所示，如考虑旋转伺服基本单元折算在电机轴及负载轴上的粘性摩擦系数 \(B_m\) 和 \(B_l\) ，负载的动力学方程为：
\[
J_l \frac{d \omega_l(t)}{d t}+B_l \omega_l(t)=\tau_l(t)
\]
其中 \(J_l\) 是负载的转动惯量， \(\tau_l\) 是施加在负载轴上的总扭矩，负载的转动惯量包含齿轮系和任何外部负载，如惯性盘负载或杆负载。
电机轴上的动力学方程可写为:
\[
J_m \frac{d \omega_m(t)}{d t}+B_m \omega_m(t)+\tau_{m l}(t)=\tau_m(t)
\]
其中 \(J_m\) 是电机轴的转动惯量， \(\tau_{m l}\) 是折算到电机轴上的负载扭矩；
负载轴转矩和其折算到电机轴上的负载转矩的关系式如下:
\[
\tau_l(t)=\eta_g K_g \tau_{m l}(t)
\]
其中 \(K_g\) 为齿轮速比， \(\eta_g\) 为传动效率。
直接安装在旋转伺服基本单元直流电机上的行星齿轮减速器（详见旋转伺服基本单元用户手册）的齿轮安装于减速器内部，在图 1.1 中用 \(N_1\) 和 \(N_2\) 两个齿轮来表示，传动比可写为：
\[
K_{g i}=\frac{N_2}{N_1}
\]
安装于行星减速器轴上的齿轮 \(N_3\) 和负载轴上的齿轮 \(N_4\) 直接啮合，在外部可见，根据 \(N_3 、 N_4\)的不同，SRVO2 旋转伺服基本单元可分为 "高减速比"、"低减速比"两个版本，其传动比为：
\[
K_{g e}=\frac{N_4}{N_3}
\]
旋转伺服基本单元齿轮系总减速比可写为:
\[
K_g=K_{g e} K_{g i}
\]
于是，负载转矩通过齿轮减速机构后这算到电机轴上的转矩为：
\[
\tau_{m l}=\frac{\tau_l(t)}{\eta_g K_g}
\]
显然负载轴旋转一圈，电机轴需要旋转 \(K_g\) 圈
\[
\theta_m(t)=K_g \theta_l(t)
\]
通过对时间求导, 可获得电机轴的角速度 \(\omega_m\) 与负载轴的角速度 \(\omega_l\) 的关系:
\[
\omega_m(t)=K_g \omega_l(t)
\]
最终可以得到下式：
以得到下式:
\[
J_m K_g \frac{d \omega_l(t)}{d t}+B_m K_g \omega_l(t)+\frac{J_l\left(\frac{d \omega_l(t)}{d t}\right)+B_l \omega_l(t)}{\eta_g K_g}=\tau_m(t)
\]
整理得：
\[
\left(\eta_g K_g^2 J_m+J_l\right) \frac{d \omega_l(t)}{d t}+\left(\eta_g K_g^2 B_m+B_l\right) \omega_l(t)=\eta_g K_g \tau_m(t)
\]
定义如下变量：
\[
\begin{aligned}
& J_{e q}=\eta_g K_g^2 J_m+J_l \\
& B_{e q}=\eta_g K_g^2 B_m+B_l
\end{aligned}
\]
则有：
\[
J_{e q} \frac{d \omega_l(t)}{d t}+B_{e q} \omega_l(t)=\eta_g K_g \tau_m(t)
\]
电机转矩与输入电压关系如下:
\[
\tau_m(t)=\eta_m k_t I_m(t)
\]
其中 \(k t\) 为直流电机转矩常数 (单位: N.m/A), \(\eta_m\) 为电机效率, \(I_m\) 为电枢电流。详见《旋转伺服基本单元用户手册》中有关电机规格的相关说明。
电压 \(\operatorname{Vm}(\mathrm{t})\) 和负载轴速度 \(\omega \mathrm{l}(\mathrm{t})\) 的关系式。
\[
\tau_m(t)=\frac{\eta_m k_t\left(V_m(t)-k_m \omega_m(t)\right)}{R_m}
\]
\[
\tau_m(t)=\frac{\eta_m k_t\left(V_m(t)-k_m K_g \omega_l(t)\right)}{R_m}
\]
如果将式 1.23 代入式 1.20, 可得:
\[
J_{e q} \frac{d \omega_l(t)}{d t}+B_{e q} \omega_l(t)=\frac{\eta_g K_g \eta_m k_t\left(V_m(t)-k_m \omega_m(t)\right)}{R_m}
\]
整理可得:
\[
J_{e q}\left(\frac{d \omega_l(t)}{d t}\right)+\left(B_{e q}+\frac{K_m \eta_g K_g^2 \eta_m k_t}{R_m}\right) \omega_l(t)=\frac{\eta_g K_g \eta_m k_t V_m(t)}{R_m}
\]
可写为:
\[
J_{e q}\left(\frac{d \omega_l(t)}{d t}\right)+B_{e q, v} \omega_l(t)=A_m V_m(t)
\]
其中等效阻尼
\[
B_{e q, v}=\frac{B_{e q} R_m+K_m \eta_g K_g^2 \eta_m k_t}{R_m}
\]
执行机构增益
\[
A_m=\frac{\eta_g K_g \eta_m k_t}{R_m}
\]
阶跃响应实验建模
对比