机械系统建模
平动机械系统
最简 质量-弹簧-阻尼（M-K-B）系统
一般来说，平动机械系统总会被我们等效为一个包含 质量M、弹簧K、阻尼B 的系统。这个系统的等效模型如下：
可以得到的动力学方程如下
\[
F_{K} = K x
\]
\[
F_{B} = B \dot{x}
\]
\[
F_{M} = M \ddot{x}
\]
\[
F_{M} = f - F_{K} - F_{B}
\]
故该系统的动力学方程为
\[
\underset{\begin{array}{c}
\text { Contributi on } \\
\text { of Inertia }
\end{array}}{M \ddot{x}}+\underset{\begin{array}{c}
\text { Contributi on } \\
\text { of the Damper }
\end{array}}{B \dot{x}}+\underset{\begin{array}{c}
\text { Contributi on } \\
\text { of the Spring }
\end{array}}{K x}=\underset{\begin{array}{c}
\text { Total } \\
\text { Applied Force }
\end{array}}{f(t)}
\]
这是最基础也最为普遍的方程形式，后续在讨论其他形式线性系统时，都会尝试将其解释为 质量-弹簧-阻尼 的系统形式，从而实现对新系统更加快速的理解和建模。
串联和并联
在将复杂机械系统等效为最简的 M-K-B 系统时，常常会出现串联和并联的情况
\[
K_{EQ} = \frac{K_1K_2}{K_1+K_2}\qquad\qquad\qquad B_{EQ} = \frac{B_1B_2}{B_1+B_2}
\]
\[
K_{EQ} = K_1 + K_2\qquad\qquad\qquad B_{EQ} = B_1 + B_2
\]
串联和并联的等效本质上都是在描述力和位移之间的分配关系，其中有意思的部分还有很多，如更多维度空间下的串并联、星-三角变换形式的等效等等，同学们可以自行探索。
多自由度下的平动系统
在n自由度的机械系统外延中，我们可以将 M-K-B 系统进行推广，此时 \(M\)、\(K\)、\(B\) 都被拓展到了 n*n 的二维张量形式，以描述从位移到力的映射关系。
\[
\left[\begin{array}{cc}
M_1 & 0 \\
0 & M_2
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
\ddot{x}_1 \\
\ddot{x}_2
\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}
B_1+B_2 & -B_2 \\
-B_2 & B_2
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
\dot{x}_1 \\
\dot{x}_2
\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}
K_1+K_2 & -K_2 \\
-K_2 & K_2
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
x_1 \\
x_2
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}
f_1(t) \\
f_2(t)
\end{array}\right]
\]
当然对于 n 自由度来说，你总可以找到 n 个各自独立的广义变量来描述整个系统， 这里我们可以令广义变量 \(q_1 = x_1, q_2 = x_2 - x_1\), 从而我们的系统方程可以被写为
\[
\left[\begin{array}{cc}
M_1 & 0 \\
M_2 & M_2
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
\ddot{q}_1 \\
\ddot{q}_2
\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}
B_1 & -B_2 \\
0 & B_2
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
\dot{q}_1 \\
\dot{q}_2
\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}
K_1 & -K_2 \\
0 & K_2
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
q_1 \\
q_2
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}
f_1(t) \\
f_2(t)
\end{array}\right]
\]
转动机械系统
在完成平动机械系统之后，我们的研究思路将转换为面对一个新的系统，是否可以被描述为 \(M-K-B\) 参数的形式，从而得到方程来描述这个系统的动力学行为。转动机械系统就是一个很好的例子。是否可以等效是用方程来说话的
| 系统参数 |
平动机械系统 |
转动机械系统 |
| M |
质量\(F_M=M\ddot{x}\) |
转动惯量\(T_I=I\ddot{\theta}\) |
| K |
弹簧\(F_K=Kx\) |
扭簧\(T_K=K\theta\) |
| B |
阻尼\(F_B=B\dot{x}\) |
摩擦\(T_B=B\dot{\theta}\) |
由此，我们建立了一组等效的系统关系: \((F,x) \rightarrow (T,\theta)\), 他们分别在 \((M,K,B),(I,K,M)\) 下具有相同的方程形式。一个通常意义上的转动机械系统的方程可以写成如下形式
\[
\underset{\begin{array}{c}
\text { Contribution } \\
\text { of Inertia }
\end{array}}{J \ddot{\theta}}+\underset{\begin{array}{c}
\text { Contribution } \\
\text { of the Damper }
\end{array}}{B \dot{\theta}}+\underset{\begin{array}{c}
\text { Contribution } \\
\text { of the Spring }
\end{array}}{K \theta}=\underset{\begin{array}{c}
\text { Total } \\
\text { Applied Torque }
\end{array}}{\boldsymbol{J}(t)}
\]
如费曼所言，相同的方程反应的相同的本质。聪明的同学当然可以一眼看出这两个系统只是使用了不同广义变量与其对应广义力的二阶力学系统。正是这样！
拓展：能量表述 拉格朗日力学 哈密顿方程
机械系统多种多样，可以选择的广义变量与广义力也多种多样。我们无法穷尽所有的系统，但是我们可以尝试找到一种更加普适的描述方法，那就是能量表述。无论运动形式如何，能量的量纲和形式总是一致且保持不变的。