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一阶和二阶系统

一阶系统

一阶系统具有传递函数：

\[G(s) = \frac{K}{\tau s+1}\]

对于一个阶跃输入 \(u(t) = 1(t)，(t>0)\)，系统的输出为：

\[ y(t) = \mathcal{L}^{-1}\left(\frac{K}{\tau s+1}\frac{1}{s}\right) = K - K\mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}} \]

绘图如下：

Plot[{K - K Exp[-t/τ], /. {K -> 1, τ -> 1},K}, {t, 0, 5}]
图 0 

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
K = 1
τ = 1
t = np.linspace(0, 5, 100)
y = K - K * np.exp(-t / τ)
plt.plot(t, y)
plt.plot(t, K * np.ones_like(t), 'r--')
plt.show()
图 1 

K = 1;
tau = 1;
t = 0:0.01:5;
y = K - K * exp(-t / tau);
plot(t, y)

一阶系统通常使用阶跃响应的时间常数 \(\tau\) 来描述系统的动态响应速度。时间常数越小，系统的动态响应越快。

一般来说，一阶系统可以在 \(t = 4\tau\) 时达到距离目标 2% 以内，在 \(t = 5\tau\) 时达到距离目标 0.7% 以内。

图 2

二阶系统

二阶系统具有传递函数：

\[ G(s) = \frac{K}{\frac{1}{\omega_n^{2}} s^2 + \frac{2\zeta}{\omega_n} s + 1} \]

其极点为：

\[ p_{1,2} = -\zeta \omega_n \pm \omega_n\sqrt{\zeta^2 - 1} \]

特别的，当 \(\zeta<1\) 时，将会有两个共轭的复数极点，此时 \(p_{1,2}=-\zeta \omega_n \pm \mathrm{j}\omega_n\sqrt{1-\zeta ^{2}}\) , 令 \(\sigma = \zeta \omega_n\), \(\omega_d = \omega_n\sqrt{1-\zeta ^{2}}\)

对于一个阶跃输入 \(u(t) = 1(t)，(t>0)\)，系统的输出为：

\[ y(t) = \mathcal{L}^{-1}\left(\frac{K}{\frac{1}{\omega_n^{2}} s^2 + \frac{2\zeta}{\omega_n} s + 1}\frac{1}{s}\right) = K - \frac{K}{\sqrt{1-\zeta ^{2}}}\mathrm{e}^{-\sigma t}\sin \left(\omega_d t+\arctan \frac{\sqrt{1-\zeta ^{2}}}{\zeta}\right) \]

我们感兴趣的量有以下几个：

  1. 峰值时间 \(t_p\)：系统输出第一次到达峰值的时间。 \(t_p=\frac{\pi}{\omega_d}=\frac{\pi}{\omega_n\sqrt{1-\zeta ^{2}}}\)
  2. 超调量 \(\%OS = K\mathrm{e}^{-\frac{\pi \zeta}{\sqrt{1-z^{2}}}}\)
  3. settling time \(t_s\) 大概也是取 \(t_s = 4\tau\)

绘图如下：

Plot[{K - K/Sqrt[1 - ζ^2] Exp[-σ t] Sin[ωd t + ArcTan[Sqrt[1 - ζ^2]/ζ]], /. {K -> 1, ζ -> 0.5, ωn -> 1},K}, {t, 0, 5}]

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
K = 1
ζ = 0.5
ωn = 1
σ = ζ * ωn
ωd = ωn * np.sqrt(1 - ζ ** 2)
t = np.linspace(0, 5, 100)
y = K - K / np.sqrt(1 - ζ ** 2) * np.exp(-σ * t) * np.sin(ωd * t + np.arctan(np.sqrt(1 - ζ ** 2) / ζ))
plt.plot(t, y)
plt.plot(t, K * np.ones_like(t), 'r--')
plt.show()

K = 1;
zeta = 0.5;
wn = 1;
sigma = zeta * wn;
wd = wn * sqrt(1 - zeta ^ 2);
t = 0:0.01:5;
y = K - K / sqrt(1 - zeta ^ 2) * exp(-sigma * t) .* sin(wd * t + atan(sqrt(1 - zeta ^ 2) / zeta));
plot(t, y)